ベイズ理論（長文）
2006/12/19 (火)
随分前になりますが、マイミクさんの日記で「モンティ・ホール・ジレンマ」と呼ばれる確率の問題が出題されていました。
モンティ・ホールという人が司会者を務める昔のアメリカのテレビ番組で、景品を隠したドアをゲストに選ばせる、というよくあるゲームなのですが、ルールはこんな感じです。
この問題は「ベイズの定理」（wikipedia での説明はこちら）という考え方で
P(A|X) = {P(X|A) P(A)} / {P(X)}
というような計算式を用いて解けるそうなのですが、文系アタマの私にとってはこの公式はややこしくて混乱してくるので、これを使わずに考えてみました。一応正解に辿り着くことが出来たようです。
でもマイミクさんの日記にはその後にもう１問ありました。
というようなものでした。これがどうも理解できなくて…。考えてみたい方のために、ちょっと空白を開けておきます。
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最初の問題の正解は、「選択を変えた方が倍有利である」です。私は↓こんな考え方で解きました。
それぞれのドアが当たりである確率は 1/3 ずつなので、
(1) 最初に選んだドアが当たりである確率…1/3
(2) 最初に選んだドアがハズレである確率…2/3
(1) の場合、選択を変えれば当たりの確率は 0%、変えなければ 100%
(2) の場合、選択を変えれば当たりの確率は 100%、変えなければ 0%
なので、当たりの確率は
(1) 最初の選択が当たりで、選択を変えない場合 … 1/3 × 1 = 1/3
(2) 最初の選択が当たりで、選択を変えた場合 … 1/3 × 0 = 0
(3) 最初の選択がハズレで、選択を変えない場合 … 2/3 × 0 = 0
(4) 最初の選択がハズレで、選択を変えた場合 … 2/3 × 1 = 2/3
というわけで、選択を変えなければ、当たりの確率は (1) + (3) = 1/3
選択を変えれば、当たりの確率は (2) + (4) = 2/3
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２番目の問題は、「選択を変えても変えなくても、当たりの確率は変わらない」というのが正解だそうです。これがどうも理解できなくて。理由は、ゲストの選んでいない２つの扉のうち、ハズレの扉が開いたのは偶然なので、残りの扉が当たりである確率には影響を与えない、というようなものでした。
でも地震があったとき、ゲストの選んだドアや当たりの隠れたドアが開いてしまったり、または全部のドアがあいてしまうような可能性もあるわけで、その場合はゲームは最初からやり直しになっていたでしょう。今回はたまたまではあっても、ゲストの選んでないハズレのドアがあいたワケですから、ゲーム続行が可能である状況になって続行を決めた時点で、結果は１問目と同じになるようにしか思えないのです。
どうして今更こんなことを書こうという気になったかというと…最近旦那が↓こんな本を図書館から借りてきたからです。
友野典男『行動経済学 ／ 経済は「感情」で動いている』
そのなかに、こんな問題がありました。
答えは
１）… 1/3
２）… 1/2
３）… 1/2
とのことでした。
この問題について詳しい解説が無かったので憶測ですが、１と２は割に簡単に理解できるのです。
１）の場合は、子供の性別が上から 女女、女男、男女、男男 である確率がそれぞれ 1/4 ずつですが、奥さんの言葉によって最後の可能性が否定されたので、女女、女男、男女 である確率がそれぞれ 1/3 ずつになった、というコトですよね。
２）の場合は、奥さんの言葉によって、女女、女男 という可能性だけが残されたので 1/2 に。
問題は ３）の場合です。１）のように「女の子が少なくとも一人は居る」という情報を耳にすることと、実際女の子を１人目撃することとの違いは何だろう…と結構悩んだのですが、女の子を１人目撃した場合、それが姉だろうが妹だろうが、２）の場合と同様に、具体的にどちらか片方を女の子と限定しているのに対して、１）の場合は「女の子が居る」という情報だけなので、奥さんのアタマの中にどちらの子が、或いは両方が浮かんでいるのかどうか判らない。そこが違いなのでしょうか。でもあまりスッキリしません。
３）は
(1) 目撃したのが上の子である確率 … 1/2
(2) 目撃したのが下の子である確率 … 1/2
(1) の場合、下の子が男の子である確率 … 1/2 … (3)
(1) の場合、下の子が女の子である確率 … 1/2 … (4)
(2) の場合、上の子が男の子である確率 … 1/2 … (5)
(2) の場合、上の子が女の子である確率 … 1/2 … (6)
なので、結局もう一人が男の子である確率は
(1)×(3) + (2)×(5) = 1/4 + 1/4 = 1/2
という風に考えるのでしょうか…。
この本では、ベイズ・ルールを説明するためにもう一つ面白い問題が載っていました。
というものです。うっかり「99%」と答えてしまいそうですが、そうではありません。
例えばここに 1,000,000人の人が居たとします。
● 実際に感染症にかかっている人は、0.01% にあたる 100 人です。
● 1,000,000人全員が検査を受けたとして、陽性と出るのは
感染者 100人のうち、正しく陽性と診断される 99% にあたる 99人 と
非感染者 999,900人のうち、間違って陽性と診断される 1% にあたる 9,999 人
を足した数です。
というわけで、あなたが実際に感染している確率は
陽性と診断された実際の感染者の数（99人）／ 陽性と診断された人の数（99+9999人）
= 99/(99+9999) = 0.00980… 約 1% 未満
ということになります。ちょっと意外な感じがしません？ 感染症にかかる確率自体が非常に低ければ、検査の信頼性が高くても、間違って陽性と判断されている場合の数がグっと増えるので、実際に感染している確率はとても低くなるのです。
ちなみにこの本では、「ベイズ・ルール」は以下のように説明されています。
「モンティ・ホール・ジレンマ」の２番目の問題も、ベイズの定理の難しい式を使わずに、文系アタマでも理解できるよう、言葉でかみ砕いて説明してくれるひとを歓迎します。どなたか是非〜。
モンティ・ホールという人が司会者を務める昔のアメリカのテレビ番組で、景品を隠したドアをゲストに選ばせる、というよくあるゲームなのですが、ルールはこんな感じです。
●ゲストは３つのドアを見せられる
●３つのドアのうち１つのドアの後ろにだけ景品があり、見事それを選べば景品が貰える
●残りの２つのドアはハズレ
●司会者はどのドアの後ろに景品があるか知っているが、ゲストは勿論知らない。
という条件のもと…
●ゲストはまず、これだと思うドアをひとつ選択する
●司会者はゲストの選ばなかった２つのドアのうち、ハズレのドアを１つ開けてみせる
●ゲストは、最初の選択のままでいくか、もう１つの閉じているドアに変更するかを選ぶことが出来る
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この場合、ゲストは最初の自分の選択を変えた方が有利だろうか、あるいは変えない方が有利だろうか？
この問題は「ベイズの定理」（wikipedia での説明はこちら）という考え方で
P(A|X) = {P(X|A) P(A)} / {P(X)}
というような計算式を用いて解けるそうなのですが、文系アタマの私にとってはこの公式はややこしくて混乱してくるので、これを使わずに考えてみました。一応正解に辿り着くことが出来たようです。
でもマイミクさんの日記にはその後にもう１問ありました。
ゲストが最初のドアを選んだ後、地震が起こって、たまたまゲストの選んでいない２つのドアのうち景品のないほうのドアが開いてしまった。司会者は、結果は同じになったのだから、とゲームを続行することにした。
この場合はゲストは選択変えるべきだろうか？
というようなものでした。これがどうも理解できなくて…。考えてみたい方のために、ちょっと空白を開けておきます。
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最初の問題の正解は、「選択を変えた方が倍有利である」です。私は↓こんな考え方で解きました。
それぞれのドアが当たりである確率は 1/3 ずつなので、
(1) 最初に選んだドアが当たりである確率…1/3
(2) 最初に選んだドアがハズレである確率…2/3
(1) の場合、選択を変えれば当たりの確率は 0%、変えなければ 100%
(2) の場合、選択を変えれば当たりの確率は 100%、変えなければ 0%
なので、当たりの確率は
(1) 最初の選択が当たりで、選択を変えない場合 … 1/3 × 1 = 1/3
(2) 最初の選択が当たりで、選択を変えた場合 … 1/3 × 0 = 0
(3) 最初の選択がハズレで、選択を変えない場合 … 2/3 × 0 = 0
(4) 最初の選択がハズレで、選択を変えた場合 … 2/3 × 1 = 2/3
というわけで、選択を変えなければ、当たりの確率は (1) + (3) = 1/3
選択を変えれば、当たりの確率は (2) + (4) = 2/3
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２番目の問題は、「選択を変えても変えなくても、当たりの確率は変わらない」というのが正解だそうです。これがどうも理解できなくて。理由は、ゲストの選んでいない２つの扉のうち、ハズレの扉が開いたのは偶然なので、残りの扉が当たりである確率には影響を与えない、というようなものでした。
でも地震があったとき、ゲストの選んだドアや当たりの隠れたドアが開いてしまったり、または全部のドアがあいてしまうような可能性もあるわけで、その場合はゲームは最初からやり直しになっていたでしょう。今回はたまたまではあっても、ゲストの選んでないハズレのドアがあいたワケですから、ゲーム続行が可能である状況になって続行を決めた時点で、結果は１問目と同じになるようにしか思えないのです。
どうして今更こんなことを書こうという気になったかというと…最近旦那が↓こんな本を図書館から借りてきたからです。
友野典男『行動経済学 ／ 経済は「感情」で動いている』
そのなかに、こんな問題がありました。
隣家に新しく一家が引っ越してきた。子供が２人いることはわかっているが、男の子なのか女の子なのかはわからない。
１）隣の奥さんに「女の子はいますか」と聞いたところ、答えは「はい」であった。
もう１人も女の子である確率はいくらか？
２）隣の奥さんに「上の子は女の子ですか」と聞いたところ、答えは「はい」であった。
もう１人も女の子である確率はいくらか？
３）隣の奥さんが女の子を１人連れて歩いているのを見た。
もう１人の子供も女の子である確率はいくらか？
答えは
１）… 1/3
２）… 1/2
３）… 1/2
とのことでした。
この問題について詳しい解説が無かったので憶測ですが、１と２は割に簡単に理解できるのです。
１）の場合は、子供の性別が上から 女女、女男、男女、男男 である確率がそれぞれ 1/4 ずつですが、奥さんの言葉によって最後の可能性が否定されたので、女女、女男、男女 である確率がそれぞれ 1/3 ずつになった、というコトですよね。
２）の場合は、奥さんの言葉によって、女女、女男 という可能性だけが残されたので 1/2 に。
問題は ３）の場合です。１）のように「女の子が少なくとも一人は居る」という情報を耳にすることと、実際女の子を１人目撃することとの違いは何だろう…と結構悩んだのですが、女の子を１人目撃した場合、それが姉だろうが妹だろうが、２）の場合と同様に、具体的にどちらか片方を女の子と限定しているのに対して、１）の場合は「女の子が居る」という情報だけなので、奥さんのアタマの中にどちらの子が、或いは両方が浮かんでいるのかどうか判らない。そこが違いなのでしょうか。でもあまりスッキリしません。
３）は
(1) 目撃したのが上の子である確率 … 1/2
(2) 目撃したのが下の子である確率 … 1/2
(1) の場合、下の子が男の子である確率 … 1/2 … (3)
(1) の場合、下の子が女の子である確率 … 1/2 … (4)
(2) の場合、上の子が男の子である確率 … 1/2 … (5)
(2) の場合、上の子が女の子である確率 … 1/2 … (6)
なので、結局もう一人が男の子である確率は
(1)×(3) + (2)×(5) = 1/4 + 1/4 = 1/2
という風に考えるのでしょうか…。
この本では、ベイズ・ルールを説明するためにもう一つ面白い問題が載っていました。
ある致命的な感染症にかかる確率は１万分の１（0.01%）である。あなたがこの感染症にかかっているかどうか検査を受けたところ結果は陽性であった。この検査の信頼性は99％である。実際にこの感染症にかかっている確率はどの程度だろうか？
というものです。うっかり「99%」と答えてしまいそうですが、そうではありません。
例えばここに 1,000,000人の人が居たとします。
● 実際に感染症にかかっている人は、0.01% にあたる 100 人です。
● 1,000,000人全員が検査を受けたとして、陽性と出るのは
感染者 100人のうち、正しく陽性と診断される 99% にあたる 99人 と
非感染者 999,900人のうち、間違って陽性と診断される 1% にあたる 9,999 人
を足した数です。
というわけで、あなたが実際に感染している確率は
陽性と診断された実際の感染者の数（99人）／ 陽性と診断された人の数（99+9999人）
= 99/(99+9999) = 0.00980… 約 1% 未満
ということになります。ちょっと意外な感じがしません？ 感染症にかかる確率自体が非常に低ければ、検査の信頼性が高くても、間違って陽性と判断されている場合の数がグっと増えるので、実際に感染している確率はとても低くなるのです。
ちなみにこの本では、「ベイズ・ルール」は以下のように説明されています。
生起確率に関する事前の情報（この場合は感染率）がある時に、ある新しい情報（検査の信頼性）が得られた場合には、事態の生じる確率をどのように更新したら合理的なのかを示している
「モンティ・ホール・ジレンマ」の２番目の問題も、ベイズの定理の難しい式を使わずに、文系アタマでも理解できるよう、言葉でかみ砕いて説明してくれるひとを歓迎します。どなたか是非〜。